演習15

$K$ を体とし, $V$ を $K$ 上の線形空間とする. $L$ を $V$ の部分空間全体の 集合とする.(線形空間,線形空間の部分空間の説明は省略します.)このとき,

1. $(L, \subseteq)$ は束になることを証明しなさい.
   

   [(1)の証明]

   $\subseteq$ が $L$ の半順序を定義することは,今までに何度も出てきたので 省略します.

   $X,Y \in L$ を任意にとると, $X,Y$ は $V$ の部分線形空間で $X \cap Y$ も部分線形空間.

   (実際, $x,y \in X \cap Y,\alpha,\beta \in K$ を任意にとると, $x,y \in X$ ゆえ
   

   $$\alpha x+ \beta y \in X$$

   
   

   全く同様に $x,y \in Y$ ゆえ
   

   $$\alpha x+ \beta y \in Y$$

   
   

   よって
   

   $$\alpha x+ \beta y \in X \cap Y$$

   
   

   すなわち, $X \cap Y$ は $V$ の部分線形空間.)
   よって
   

   $$X \cap Y \in L$$

   
   

   $X \cap Y \subseteq X,Y$ で, $X \cap Y$ は $\{ X,Y \}$ の下界の一つ.
   

   $Z$ が $\{ X,Y \}$ の下界とすると；
   $x \in Z$ を任意にとると, $Z \subseteq X,Y$ から $x \in X,Y$ で $x \in X \cap Y$
   よって,
   

   $$Z \subseteq X \cap Y$$

   
   

   
   すなわち, $X \cap Y$ は下界のうち最大元
   すなわち下限で,
   

   $$\inf \{ X,Y \} = X \cap Y$$

   
   

   $[X \cup Y]$ $= \{ \alpha_0 x_0+ \cdots + \alpha_k x_k \vert x_0, \cdots, x_k$は有限個の $X \cup Y$ の元, $\alpha_0, \cdots,\alpha_k$ は有限個の $K$ の元 $\}$

   とおくと, $[X \cup Y]$ は $V$ の部分線形空間,

   (実際 $x,y \in [X \cup Y ], \lambda, \mu \in K$ を任意にとると,
   

   $$x,y \in [X \cup Y]$$

   
   

   ゆえ 有限個の $x_0, \cdots x_k \in X \cup Y,\alpha_0, \cdots \alpha_k \in K$ が存在して
   

   $$x=\alpha_0 x_0 + \cdots + \alpha_k x_k$$

   
   

   同様に 有限個の $y_0, \cdots y_m \in X \cup Y, \beta_0, \cdots \beta_m \in K$ が存在して
   

   $$y=\beta_0 y_0 + \cdots + \beta_m y_m$$

   
   

   $$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\lambda x + \mu y} \\ && = \lambda (\alpha_0 x_0 +... ...bda \alpha_k x_k + \mu \beta_0 y_0 + \cdots + \mu \beta_m y_m \end{eqnarray*}$$

   
   

   
   

   
   

   
   

   $$\in [ X \cup Y]$$

   
   

   よって
   

   $$\lambda x + \mu y \in [X \cup Y]$$

   
   

   すなわち, $[X \cup Y]$ は $V$ の部分線形空間)

   ゆえに,
   

   $$[X \cup Y]\in L$$

   
   

   また $[X \cup Y]$ の作り方から $(k=0,\alpha 0=1,x_0 \in X \cup Y$ の場合 を考えれば)
   

   $$X \cup Y \subseteq [X \cup Y]$$

   
   

   $Z$ を $V$ の部分線形空間として, $\{ X,Y \}$ の上界, すなわち $x \subseteq Z,Y \subseteq Z$ とすると, $w \in [X \cup Y]$ を任意にとると, 有限個の $x_0, \cdots x_k \in X \cup Y,\alpha_0, \cdots \alpha_k \in K$ が存在して
   

   $$w=\alpha_0 x_0 + \cdots+ \alpha_k x_k$$

   
   

   ここで $X \subseteq Z,Y \subseteq Z$ から $X \cup Y \subseteq Z$ で, $Z$ は部分線形空間ゆえ, $x_0, \cdots x_k \in X \cup Y \subseteq Z,\alpha_0, \cdots \alpha_k \in K$ から
   

   $$\alpha_0 x_0 + \cdots + \alpha_k x_k \in Z$$

   
   

   よって(こ れも有限個の線形結合だから)
   

   $$w \in Z$$

   
   

   $w$ はを任意にとったので,
   

   $$[X \cup Y]\subseteq Z$$

   
   

   結局,
   

   $$\inf \{ X,Y \} = X \cap Y,$$

   
   

   
   

   $$\sup \{ X,Y \} = [X \cup Y]$$

   
   

   [(1)の証明終]

2. 任意の $M \subseteq L$ について, $\Pi M = \cap M$ となることを 証明しなさい．

   $x,y \in \cap M, \alpha,\beta \in K$ を任意にとると, $\cap M$ の定義から $X \in M$ を任意にとると $x,y \in X$ よって
   

   $$\alpha x+ \beta y \in X$$
   
   
   $X \in M$ は任意にとったから $\alpha x + \beta y \in \cap M$ よって $\cap M$ は $V$ の部分線形空間

   任意の $X \in M$ について $\cap M \subseteq X$ で, $\cap M$ は $M$ の下界.

   $Y$ が $M$ の下界とすると；
   

   $$(\forall X \in M)(Y \subseteq X)$$
   
   
   $x \in Y$ を任意にとると, 任意の $x \in M$ について $Y \subseteq X$ から
   
   $$x \in X$$
   
   
   よって
   
   $$x \in \cap M$$
   
   
   $x \in Y$ を任意にとったので,
   
   $$Y \subseteq \cap M$$
   
   
   すなわち, $\cap M$ は下界のうち最大元すなわち下限で,
   
   $$\Pi M = \cap M$$
   
   
   
   

3. 任意の $M \subseteq L$ について, $\Sigma M$ は $\cup M$ によって 生成された部分空間となることを証明しなさい. と， $[\cup M] = \{ \alpha_0 x_0+ \cdots + \alpha_k x_k \vert x_0, \cdots ,x_k$ は, 有限個の $\cup M$ の元, $\alpha_0, \cdots,\alpha_k$ は有限個の $K$ の元 $\}$ とおくと,

   $x,y \in [ \cup M], \lambda, \mu \in K$ を任意にとると,
   

   $$x,y \in [\cup M]$$
   
   
   ゆえ
   
   $$x_0, \cdots x_k \in \cup M, \alpha_0, \cdots \alpha_k \in K$$
   
   
   が存在して
   
   $$x=\alpha_0 x_0 + \cdots + \alpha_k x_k$$
   
   
   同様に
   
   $$y_0, \cdots y_m \in \cup M, \beta_0, \cdots \beta_m \in K$$
   
   
   が存在して
   
   $$y=\beta_0 y_0 + \cdots + \beta_m y_m$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\lambda x + \mu y} \\ && = \lambda (\alpha_0 x_0 +... ...bda \alpha_k x_k + \mu \beta_0 y_0 + \cdots + \mu \beta_m y_m \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   
   
   
   $$\in [\cup M]$$
   
   
   よって(この線形結合も有限個でできているので)
   
   $$\lambda x + \mu y \in [\cup M]$$
   
   
   すなわち, $[ \cup M]$ は部分線形空間
   

   作り方から $(\forall X \in M)(X \subseteq \cup M)$ で $\cup M$ は $M$ の上界. $Z$ を $V$ の部分線形空間として, $M$ の上界,すなわち, $(\forall X \in M)(X \subseteq Z)$ とすると $w \in [ \cup M ]$ を任意にとると, 有限個の $x_0, \cdots x_k \in \cup M, \alpha_0, \cdots \alpha_k \in K$ が存在して
   

   $$w=\alpha_0 x_0 + \cdots+ \alpha_k x_k$$
   
   
   ここで $(\forall X \in M)(X \subseteq Z)$ から, $\cup M \subseteq Z$ で, $Z$ は部分線形空間ゆえ, $x_0, \cdots x_k \in \cup M \subseteq Z,\alpha_0, \cdots \alpha_k \in K$ から
   
   $$\alpha_0 x_0 + \cdots + \alpha_k x_k \in Z$$
   
   
   よって
   
   $$w \in Z$$
   
   
   $w$ はを任意にとったので, $[\cup M] \subseteq Z$ よって $[ \cup M]$ は上界のうち最小元すなわち,下限で $\Sigma M =[ \cup M]$